Citazione:

Sinceramente dovrei calcolarmi la differenza, diciamo, dopo un settimana che tu e il tuo amico siete lì, e non è un conto immediato in un campo gravitazionale, è un conto fattibile, senza dubbio, ma comunque lunghino...
In ogni caso che differenza fa? Il ritardo non sarebbe altro che qualche frazione infinitesima di secondo, e sarebbe, per la gente comune, persino difficile controllarne la sincronizzazione iniziale e la desincronizzazione finale... e nella nostra vita quella frazione di secondo non cambia niente (a meno che non sei su satellite e devi compensarne gli effetti per calcoli precisi).
Comunque, ad essere pignoli, lo potresti controllare anche col tuo amico...

Tornando al paradosso, ecco la spiegazione più semplice del perchè il paradosso è un abbaglio:
1) Prima di tutto stiamo parlando di relatività ristretta, quindi, per falsificarla o confermarla, dobbiamo usare quello che affermano le sue regole, e non l'intuito.
2) ovverro gli oggetti possono accelerare o frenare quanto vogliono, purchè il sistema sia descritto usando un sistema di riferimento inerziale.
3) Il campo gravitazionale non è inerziale quindi non va bene. Siccome quello della terra è debole, potremmo anche trascurarlo, ma diciamo comunque che il primo gemello non si trova sulla terra, ma sull'astronave chiamata "FERMA" (F) nel mezzo dello spazio e lontano da pianeti, mentre il secondo gemello si trova su un'altra astronave chiamata "VIAGGIATRICE" (V) e che sta già viaggiando a velocità w costante.
4) Diciamo che l'idea è che la viaggiatrice vuole raggiungere un punto di BOA (B) e tornare indietro. Facendolo viaggerà a velocità relativistica w rispetto all'altro.
5) Quindi abbiamo la seguente situazione iniziale. F è al punto iniziale (I) e V sta passando per proseguire alla volta di B. Quando sono praticamente adiacenti al punto I i due gemelli hanno la stessa età (aka sincronizzazione degli orologi).


F----------------------------------
I---------------------------------B
V---->----------------------------

6) Dopo un po', la viaggiatrice avrà raggiunto il punto B e vuole tornare indietro.

F----------------------------------
I---------------------------------B
----------------------------------V

7) Finora tutto è simmetrico, abbiamo due sistemi di riferimento inerziali, uno in movimento da I a B, l'altro fermo in I. La relatività ristretta vuole che i due sistemi siano perfettamente equivalenti, e finora, può sembrare strano o meno, ma è così! Fin qui assolutamente nessun problema.

8) Adesso diciamo che V inverte la rotta e torna verso I.

F----------------------------------
I---------------------------------B
-------------<-----V----<--------

9) dopo un po' V avrà nuovamente raggiunto I, ripristinando la posizione iniziale.

F----------------------------------
I---------------------------------B
V---<-----------------------------

10) Incredibile ma vero, V sarà più giovane di F!

Ora la domanda è: perchè? Perchè se nel punto 7) si diceva che i due sistemi erano equivalenti ora non lo sono più?
Il paradosso dei gemelli recita appunto che potremmo rovesciare il punto di vista, dicendo che per V è stato F ad allontanarsi e a riavvicinarsi, e quindi potrebbe essere lui il più giovane dei due. Non essendo possibile che tutti e due siano più giovani, la relatività ristretta dovrebbe essere paradossale.
Il punto è che quello che vale fino al punto 7) non vale più dal punto 8) al 10), e adesso vediamo perchè (è questa la chiave del paradosso, capire i sistemi inerziali).

11) Torniamo un attimo al punto 7) mentre V sta per invertire la rotta:

F----------------------------------
I---------------------------------B
----------------------------------V

12) Appena V cambia direzione (istantaneamente o meno non importa) succede qualcosa che si è portati ad ignorare in prima istanza. Un sistema di riferimento inerziale, per definizione, non può invertire la propria rotta!
Lo può fare la nave, ma non il sistema.
Ovviamente la nave può entrare in un nuovo riferimento inerziale, che si muove a velocità opposta, ma il vecchio DEVE continuare per la sua strada per poter calcolare gli intervalli di tempo in accordo con la relatività. Altrimenti stai parlando di un'altra teoria, e qualsiasi paradosso che trovi è dovuto alla tua teoria e non alla relatività.
Quindi, chiamando D il sistema di riferimento che inizialmente era parallelo a V, vediamo cosa succede al vecchio punto 8)

F----------------------------------
I---------------------------------B
-------------<-----V----<--------
------------------------------------------>----D----->-----------

13) Finalmente si comincia a vedere perchè il moto è asimmetrico: perchè V ha dovuto saltare da un sistema di riferimento inerziale iniziale (D) ad uno a velocità opposta.
Mentre F è rimasto nello stesso sistema per tutta la durata del viaggio.
Alla fine, si avrà:

F----------------------------------
I---------------------------------B
V----<----------------------------
--------------------------------------------------------------->----D

14) Chiaramente, la comprensione che i sitemi di riferimento inerziali sono tre e non due, come superficialmente ci si potrebbe aspettare, è la chiave del non-paradosso. Il problema è che la gente pensa che una persona possa rappresentare un sistema di riferimento inerziale, invece no: è sbagliato! Al massimo una persona può viaggiare insieme ad un sistema di riferimento inerziale, ma quando cambia direzione, sta cambiando sistema di riferimento inerziale.

15) Ora provate a paragonare il sistema di riferimento F e D. Per F è chiaro chi ha viaggiato a velocità maggiore, cioè V, perchè lui è rimasto fermo.
Invece per D la situazione è un po' più complicata:
-inizialmente, era F a muoversi a velocità -w mentre V era fermo;
-raggiunto B, F a continuato a muoversi a -w, mentre V, che ha invertito la rotta, ha cominciato a muoversi a velocità -w' rispetto a D;
-chiaramente -w' deve essere maggiore di -w, altrimenti V non raggiungerebbe mai F.
Facendosi i calcoli usando i fattori gamma indicati dalla relatività ristretta, si vede che per il gemello in F che si muoveva a velocità -w per tutto il viaggio, è passato più tempo che per il gemello V che è stato fermo metà del viaggio e si è mosso a velocità -w' per l'altra metà; questo perchè non si possono semplicemente sommare le velocità a occhio, ma bisogna usare i numeri e le equazioni giuste. Chiunque sia in grado di gestire un po' di algebra elementare può prendere le formule della relatività e calcolarsi queste quantità a casa, il risultato sarà chiarissimo, a prova di paradosso. Se qualcuno fa il conto e non gli viene, lo postasse che vedo dov'è l'errore. E' matematica di base, quindi chiunque potrebbe sbugiardarmi o confermarmi.

Tutto questo ragionamento del paradosso dei gemelli, permane perchè tutti sono portati a pensare che i sistemi di riferimento siano le astronavi o le persone, ma non è così: in relatività ristretta, ristretta appunto ai sistemi inerziali, non puoi usare altro che quelli. Puoi tranquillamente descrivere moti accelerati o sistemi rotanti, purchè tu lo faccia usando sistemi di riferimento inerziali, usando le opportune trasformazioni di Lorentz tra un sistema inerziale e un'altro.
Le trasformazioni di Lorentz sono quelle che distinguono la relatività ristretta dalla teoria galileana precedente, che non considerava il tempo come coordinata.
Quindi non c'è nessuna patch, e l'accelerazione non è neanche importante, solo due cose sono importanti:
a) usare veramente quello che la relatività ristretta dice nel calcolare gli intervalli di tempo
b) capire che in ambito di relatività ristretta il gemello V si trova a viaggiare usando due sistemi di riferimento diversi (in cui lui è fermo) e non uno solo, a differenza del gemello F.

Spero di essere stato chiaro, le domande sono benvenute,
Ciao,
Ruggero

P.S.
Ivan, nell'immagine presa da Google Earth fai un errore di metodo, se la stai usando per dire che qualcosa non torna. Hai cercato di paragonare le due immagini dandogli la stessa dimensione su schermo invece di dargli lo stesso punto di vista, ovvero trascurando l'altitudine del punto di vista, pur indicata in basso nella tua figura. Hai usato 7000km invece di 36000km, che è l'altitudine degli geostazionari. Se metti l'altitudine giusta vedrai che le immagini corrispondono perfettamente, che comunque è abbastanza ovvio perchè GE usa foto satellitari. In ogni caso poteva pure essere fatto male GE, invece questa è una conferma abbastanza buona. Ciao!