Mentre si cerca di capire qual'è la verità sulla massa delle torri, eccomi intanto come promesso con il secondo livello di approssimazione.

Seconda approssimazione:

Assumo che
- il troncone sommitale che cade si consumi, nel distruggere gradualmente la torre, ad una velocità uguale a k volte (k<1) quella a cui avanza verso il basso il fronte di distruzione.
- la forza viscosa F sia costante al valore stimato nella prima approssimazione
- i detriti vengano man mano fatti schizzare di lato dalla pressione che si esercita sulla poltiglia di materiale maciullato all’interfaccia

Inoltre definisco gli ulteriori simboli
t = coordinata tempo dall’inizio del crollo
z(t) = distanza percorsa dal fronte di distruzione
y(t) = distanza già percorsa in caduta dalla sommità
x(t) = distanza y(t) normalizzata ad H, quindi variabile da 0 a 1
L(z)= lunghezza residua del troncone sommitale quando il fronte di distruzione è a z
M(z)= massa residua del troncone sommitale quando il fronte di distruzione è a z
k = coefficiente di autodistruzione (k<1)
DU = energia potenziale persa dal troncone sommitale nei primi h metri di caduta

Che sia k<1 è ovvio in quanto la forza che agisce dal basso sul troncone sommitale è solo la F, mentre quella che agisce sul troncone inferiore al fronte di collasso è molto maggiore. Per decidere che valore possa essere realistico per k ho proceduto in due modi: da una parte ho osservato i filmini, dove si vede chiaramente che quando z diventa simile a L (lunghezza iniziale del troncone sommitale), tale troncone è ancora molto lungo, mentre dovrebbe essere sparito se fosse k=1; dall’altra sono andato per tentativi sulla torre nord provando diversi valori di k, per scegliere poi quello che dà l’estinzione del troncone superiore ad un livello da terra un po’ più basso dell’altezza dei mozziconi di colonna rimasti in piedi dopo il crollo. Scegliendo un’altezza da terra di una trentina di metri per l’estinzione del crollo, ho trovato per tentativi che occorre ipotizzare k=0.15.

Comunque sia, si trova preliminarmente che y=(1+k)z e che L(z)=L+z-y , oltre naturalmente a M(z)/M=L(z)/L. Detto questo, l’equazione del moto sarà

4) y” = g – F / M(z),

che con le opportune sostituzioni fornisce per la variabile normalizzata x la seguente equazione differenziale non lineare

5) x” = (g/H) (1 – R – B x) / (1 – B x),

dove R = Ed/DU e B = (H/L) k/(1+k). Si noti che per k=0 la 5) ritorna quella della prima approssimazione

La soluzione numerica di questa equazione fornisce le figure qui sotto proposte.
Attenzione che, per questi calcoli come per i precedenti, ho usato le masse proposte da Bazant per i due tronconi sommitali (58 k Ton per la torre nord e 120 k Ton per la torre sud). Se questi valori sono sbagliati è ovvio che i risultati cambiano.

E’ molto importante quindi riuscire a stabilire con certezza quali fossero le masse delle torri.
Comunque, ecco le figure (provvisorie per il motivo detto)

http://img209.imageshack.us/img209/2221/sudyd6.jpg

http://img205.imageshack.us/img205/4207/nordgd8.jpg

Per completare lo studio delle modalità di collasso e di conseguenza del tempo di caduta è ancora necessario introdurre la massa del cuscino di poltiglia schiacciato tra i due tronconi, e lo spazio che occupa. Questo ulteriore affinamento è l’obiettivo della Terza Approssimazione.