@ ivan
cit:
"come se la matematica non fosse il linguaggio, il metro, lo strumento con cui esploriamo e misuriamo la realtà."

io , la matematica l'ho sempre considerata uno STRUMENTO. più o meno sofisticato ma uno strumento.

con la matematica non si confronta nulla (misurazione), ma si esprime un fenomeno, e molte volte se ne prevede l'esito.

ogni "matematica" è un mondo a se creato per soddisfare esigenze che con altre "matematiche" non si potevano esprimere, e soprattutto prevederne i risultati.

ogni "matematica" segue le proprie leggi, i propri sviluppi, e soddisfa infine determinate esigenze espressive.

esempio banale è quello dei due cerchi.
per definizione un cerchio è una successione infinita di punti privi di dimensioni. ma come confronto gli infiniti punti di due cerchi di dimensioni diverse ? due infiniti uguali per definizione ma diversi nei risultati ?e per rispondere, nasce l'insiemistica.

tutte le scienze che derivano dall'osservazione USANO la matematica per esprimerne leggi e comportamenti dei fenomeni.

la matematica, è sempre un po più avanti rispetto alle esigenze delle scienze, l'evoluzione delle quali, a volte è proprio bloccata per mancanza di strumenti matematici appropriati ad esprimere i fenomeni.

la matematica è teoria pura, ed in effetti con essa si può esprimere QUASI tutti i fenomeni osservabili o addirittura soltanto prevedibili. a volte occorrono anni per predisporre strumenti adatti ad osservare quanto matematicamente previsto, ma non riscontrato proprio per mancanza di mezzi adeguati.

essendo teoria pura è astratta. è quando viene applicata che offre la possibilità di confrontare poi i risultati concretamente.

assioma.
enunciazione non dimostrabile con mezzi di ordine inferiore, ma accettabili intuitivamente, ovvero tanto banalmente ovvi da essere accettati senza nulla in più della semplice enunciazione.
da essi, con ragionamenti logici, e richiamandone la loro validità, si sviluppano le successive enunciazioni, come conseguenza della composizione degli assiomi. poi si usano i risultati di tali dimostrazioni come punto di partenza per ulteriori e più complesse dimostrazioni, e così via.
ma di ogni espressione, ad un livello molto più basso, primordiale direi, si trovano sempre e solo degli assiomi.