Problema

Un campione di 2000 votanti in Ohio, dopo aver votato, viene intervistato in merito al voto effettuato ed ha indicato una preferenza del 53% per il candidato Kerry rispetto al candidato Bush. Con un grado di fiducia del 95% e del 99% quali sono gli intervalli di confidenza per il risultato elettorale del candidato Kerry in Ohio?

Soluzione:

1) Con un grado di fiducia del 95% il valore critico da considerare (da tabella) e’ 1.96. Il risultato campionario indica che la p (percentuali di votanti Kerry) = 53% e q (percentuale votanti Bush) = 47%. L’intervallo di confidenza per il risultato di Kerry si determina con la seguente formula:

min = 0.53 – 1.96 * radice_quadrata[(0.53*0.47)/1999] = 50.81%

max = 0.53 + 1.96 * radice_quadrata[(0.53*0.47)/1999] = 55.19%

mmmm interessante.. ma non aveva vinto Bush 51% a 49% ? Proviamo a risolvere la seconda parte..

2) Con un grado di fiducia del 99% il valore critico da considerare (da tabella) e’ 2.576. Usando la formula di prima:

min = 0.53 – 2.576 * radicequadrata[(0.53*0.47)/1999] = 50.12%

max = 0.53 + 1.96 * radicequadrata[(0.53*0.47)/1999] = 55.88%


Segue in breve la teoria del test:

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Nel problema affrontato definiamo come popolazione l’intera schiera di coloro che si sono recati alle urne in Ohio. Se da essi vengono estratti casualmente molti gruppi di persone (di eguale dimensione), detti campioni, e si verifica che percentuale di essi abbia votato Kerry si otterranno tutta una serie di valori diversi. Riportando su un grafico questi valori sulle ascisse e sulle ordinate invece il numero delle occorrenze, ovvero quante volte si e’ verificata la stessa percentuale (es. 52%), vedremo si ottiene una curva con la seguente forma (con un numero elevato di estrazioni):

Grafico di una "gaussiana" (invece di m=0 in questo caso e' da considerare m=53%)

L’area contenuta al di sotto della curva rappresenta quindi il 100% delle occorrenze ottenute. La curva si chiama “normale” o “gaussiana” ed e’ simmetrica e centrata sulla percentuale “vera” di votanti Kerry della popolazione.
Se indico di voler considerare un grado di fiducia del 95% vuol dire che voglio considerare il 95% dell’area contenuta al di sotto della curva, escludendo le code (che ritengo assai improbabili). Tramite la formula utilizzata individuo quindi i due valori che determinano quest’area (50,81 e 55,19). Nel 95% dei casi quindi, avendo estratto casualmente un campione (2000 persone), di cui il 53% ha votato Kerry, la popolazione da cui esso proviene avra’ votato Kerry con una percentuale compresa tra i due estremi individuati. Similmente, utilizzando invece il 99% come grado di confidenza, si ottengono altri due estremi ed un intervallo ovviamente piu’ ampio.

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Conclusioni:

Le cosiddette code, nella statistica, esistono e niente e’ certo pero’ si puo’ affermare che:

a) rientriamo nel caso delle “code”; l’exit poll ha dato un risultato ma poi e’ incappato in quella minima probabilita’ di sbagliare cosi’ tanto da vedere il risultato ribaltato.

b) il campione scelto non era “estratto casualmente”. Per un qualche motivo sono state intervistate piu’ persone che avevano votato Kerry rispetto a coloro i quali avevano votato Bush, o questi ultimi, una volta intervistati, hanno dato una risposta diversa dal loro voto vero e proprio.

c) il campione estratto per l’exit poll era meno numeroso (un campione di 1000 persone ha come estremo inferiore il 49.9% con grado di fiducia del 95%). Un campione di numerosita’ piu’ alta (ad es. 3000) allo stesso modo avrebbe ristretto l’intervallo di fiducia (51.21% l’estremo inferiore, sempre con grado di fiducia del 95%)

d) la popolazione dell’ Ohio aveva effettivamente votato in quelle percentuali Kerry ma poi i risultati sono stati conteggiati in altro modo. In parole povere le elezioni sono state truccate.

Visti i precedenti ed il caso di Clinton Curtis direi che l’opzione d) e’ da preferirsi con un grado di affidabilita’ del 99% sulle altre...

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