(ho ristrutturato pesantemente il post, l'ultima parte era più dannosa che altro)

Citazione:

Quello che segue è uno dei classici esempi della composizione delle velocità. Prima di leggere, tieni bene a mente che in relatività (a dire il vero anche in meccanica classica, ma qui è ancora più fondamentale) quando si descrive una situazione fisica, ad esempio la posizione e la velocità di un oggetto, bisogna SEMPRE specificare da dove si sta guardando, ovvero il sistema di riferimento (abbreviato in sdr). In sistemi di riferimento diversi si ottengono descrizioni diverse degli stessi fenomeni. Se ci pensi un secondo, questa è un'ovvietà: un passeggero su un autobus sarà visto fermo da un altro passeggero e in movimento (alla stessa velocità dell'autobus) da un tizio che sta sul marciapiedi.

È un esercizio che è capitato ad uno scritto di un dottorato a cui ho partecipato, quindi non mi sto inventando niente

Supponi che un certo osservatore, sulla terra, vede due astronavi. Una (astronave A) si allontana dalla terra con una velocità V e l'altra (astronave B) percorre la stessa traiettoria, però va più veloce. Tanto per dare un valore numerico a V, diciamo che è 2/3 della velocità della luce C.
Dal punto di vista dell'astronave A, l'astronave B si sta allontanando da A alla velocità V, la stessa di prima. La domanda è: dal punto di vista della terra, a che velocità va l'astronave B?

Dico subito che se valesse la meccanica classica questa velocità sarebbe 2V, ovvero più della velocità della luce: bisogna sommare la velocità di A nel sdr terrestre - che è V - alla velocità di B nel sdr di A - che è V anch'essa. Se le velocità si sommassero così anche nella relatività otterremmo che l'astronave B, vista dalla terra, sta andando più veloce della luce.
Le regole relativistiche dell'addizione delle velocità implicano invece che le particelle senza massa (come la luce) vanno alla velocità della luce C in qualunque sdr, mentre le particelle (o oggetti più estesi) con massa maggiore di zero abbiano velocità inferiori a C in qualunque sdr, anche se il valore dipende dal sdr scelto. Questo implica, ad esempio, che esiste un sdr in cui una particella con massa stia ferma, mentre per le particelle senza massa non è vero: non esistono particelle senza massa ferme. I fotoni fermi non esistono.

Ora non vorrei tediarti con le formule, comunque il risultato del calcolo è il seguente: la velocità dell'astronave B vista dalla terra non è 2V, bensì 2V*(C^2/(C^2+V^2)). Se V è molto piccola rispetto a C, in modo che al denominatore puoi eliminare V^2 senza cambiare molto il risultato, si riottiene la legge di trasformazione "normale" (galileiana) tramite la quale si otteneva 2V; al contrario, se V è molto vicino alla velocità della luce C, si ottiene un numero superiore alla velocità di partenza (V) ma inferiore alla velocità della luce C. Nel nostro caso, se V=2C/3, la velocità dell'astronave B vista dalla terra è 12C/13.

Benissimo, adesso invece dell'astronave B mettici un raggio di luce. L'astronave A vedrà la luce allontanarsi da lei alla velocità della luce C. A che velocità il raggio di luce si allontana dalla terra? Sostituendo V=C nella formula di prima si ha:
2C*(C^2/(c^2+C^2))=2C/2=C
Quindi la luce andrà alla velocità C anche se è vista dalla terra e non dall'astronave A. Più in generale, se un osservatore vede qualcosa che va alla velocità della luce allora chiunque altro vedrà quella cosa alla velocità della luce.

(tra l'altro questo è uno dei motivi per cui non si può usare E=mc² per definire l'energia di un fotone: quella è l'energia di un corpo di massa m quando è immobile, ma i fotoni non sono mai immobili)

Questo è come funziona in teoria. Esistono esperimenti in cui si vede direttamente questa cosa? Beh, non sono tante le astronavi che vanno a velocità relativistiche :P
Diciamo che questo effetto è legato alla critica dell'esperimento OPERA in cui si diceva che non avevano considerato il moto dei satelliti gps nel calcolo del tempo. (però l'hanno considerato.)

La cronistoria, per quanto ne sappia io, dovrebbe essere la seguente: come dice anche Wikipedia in lingua inglese, le trasformazioni di Lorentz erano conosciute almeno da una ventina d'anni prima dell'avvento della relatività ristretta. (dalle trasformazioni di Lorentz si arriva facilmente alla legge di composizione delle velocità, quindi sono quelle la base delle formule sovrastanti)
Quelli di Michelson e Morley credo siano stati i primi esperimenti di misura della velocità della luce con una precisione nell'ordine delle decine di Km/s, cioè sufficiente a determinare la variazione della velocità della luce dovuta alla rotazione terrestre rispetto al fantomatico etere. Poi ne sono seguiti molti altri, è venuto Einstein e il resto è storia.
Per quanto riguarda la dilatazione dei tempi l'evidenza più plateale è l'allungamento della vita media delle particelle instabili che viaggiano a velocità relativistiche (es. muoni).
Per quanto riguarda la contrazione delle lunghezze invece non saprei indicare così a botto un esperimento che non usi la luce come strumento di misura. Sempre en.wiki riporta cose come lo schiacciamento longitudinale degli ioni pesanti ad alta velocità e il funzionamento degli ondulatori per produrre radiazione di sincrotrone.

Tra l'altro l'allungamento della vita media dei muoni si spiega, nel sdr dei muoni, con la contrazione della lunghezza del loro percorso.

Dato che le prove più plateali della relatività si trovano nella fisica delle particelle, mi riservo di scrivere qualcosa su muoni e cose del genere ;)