Durante il week end ho fatto un po’ di pensate sulla dinamica del cuscino di poltiglia, e ho concluso per il momento che
1) l’ipotesi che avevo avanzato di un cuscino che va a regime e poi non cresce più è un po’ azzardata. Potrebbe essere realistica, ma sostenerlo è prematuro. Occorre impostare uno studio un po’ più serio della dinamica del cuscino. E questa è la bad news. La good news invece è che
2) non appare troppo difficile impostare uno studio della dinamica del cuscino, anche se per completarlo ci potrà poi magari volere l’intervento di un esperto di fluidodinamica (che però forse posso poi anche individuare al momento giusto).

Lo studio deve partire dal fatto ovvio che le macerie di nuova produzione che non vengono inglobate dal cuscino di poltiglia, facendolo crescere, vengono eiettate lateralmente formando quella fontana che tutti hanno potuto vedere nei filmini. L’equazione di partenza quindi non può essere che la seguente

1) dMp/dt + dMj/dt = dMd/dt

dove Md è la massa di nuove macerie prodotte al fronte di distruzione, Mp è la massa contenuta nel cuscino di poltiglia, e Mj è la massa eiettata lateralmente nella fontana di detriti.

L’idea che seguo è che si possa assumere, almeno in prima approssimazione, che la pressione del cuscino di poltiglia sia abbastanza costante durante il crollo, anche se varia la dimensione del cuscino. Questo perché comunque al fronte di distruzione (cioè in basso) deve presentare la pressione necessaria per distruggere, e al suo confine superiore deve fornire la forza F che rallenta la caduta, cioè ne riduce da g ad a l’accelerazione.

Pensando alla fontana di detriti, tale pressione interna al cuscino può essere interpretata come la perdita di carico subita dal flusso di detriti nel superare la resistenza idrodinamica che incontra per uscire di lato. Allora la 1) può essere interpretata come un’equazione differenziale che ci permette di determinare lo spessore del cuscino di detriti. Questo spessore lo chiameremo h. E di conseguenza si avrà che

2) zd = z + h

dove z è la coordinata dell’interfaccia tra il cuscino e la base del troncone sommitale e zd è la coordinata del fronte di distruzione.

Quanto più velocemente devono uscire i detriti nella fontana, tanto più piccola dovrà essere la resistenza idrodinamica, essendo che la pressione interna al cuscino è sempre la stessa. Tale resistenza idrodinamica può diminuire solo allargando la fessura di uscita (cioè aumentando h) perché l’altra dimensione del condotto è sempre la stessa.

Allora definiamo
rho = densità lineare della torre (considerate costante, anche se non lo è)
rhop = densità lineare all’interno del cuscino di poltiglia
Phi(h) = (dMj/dt)
eta = coefficiente di riempimento delle torri

e considerando che (gli apici indicano derivata rispetto al tempo)
dMp/dt = rhop h’
dMd/dt = rho zd’ = rho (z’ + h’)
rhop = rho / eta
si trova (usando lambda= eta/(1-eta) l’equazione

3) h’ = lambda (z’ - Phi(h) / rho)

che poi in realtà conviene rivisitare eliminando il tempo come equazione mirata a trovare h(z) invece che h(t). Questo si ottiene dividendo tutto per z’, e poi ricordando che z’=sqrt(2az). Allora si trova l’equazione

4) dh/dz = lambda (1 - Phi(h) / (rho sqrt(2az)))

Per lavorare sulla soluzione occorre prima di tutto capire come varia con h la resistenza dinamica, e quindi per ora mi fermo qui.

Noto però che, siccome appena il crollo parte si avrà h=eta z, l’ultimo termine della 4) all’inizio è proporzionale a sqrt(z) e quindi è trascurabile per z piccolo (i primi piani). Questo è conforme con il fatto che il materiale macinato nei primi metri di caduta vada tutto a formare il cuscino di poltiglia.